Упр.49.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Каждый из n учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9. a) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5? б) Как меняется эта вероятность с изменением n? в) Найдите предел этой вероятности при n — > оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее отсутствия?
Обозначим через $$P_n$$ вероятность того, что среди записанных цифр есть хотя бы одна цифра 5.
Удобнее сначала найти вероятность противоположного события: ни одной цифры 5 нет. Тогда каждый ученик может написать любую из $$9$$ цифр, отличных от 5, поэтому
$$P(\text{нет цифры }5)=\left(\frac{9}{10}\right)^n=0{,}9^n.$$
Следовательно,
$$P_n=1-0{,}9^n.$$
а) Вероятность появления хотя бы одной цифры 5:
$$P_n=1-0{,}9^n.$$
б) При увеличении $$n$$ число $$0{,}9^n$$ убывает, значит $$1-0{,}9^n$$ возрастает. Следовательно, вероятность возрастает.
в) Найдём предел:
$$\lim_{n\to\infty}(1-0{,}9^n)=1-0=1.$$
г) Требуется, чтобы вероятность появления хотя бы одной цифры 5 была больше вероятности её отсутствия:
$$1-0{,}9^n>0{,}9^n.$$
Тогда
$$1>2\cdot 0{,}9^n,$$
$$0{,}5>0{,}9^n.$$
Проверим значения:
$$0{,}9^6\approx 0{,}531>0{,}5,$$
$$0{,}9^7\approx 0{,}478<0{,}5.$$
Значит, наименьшее значение $$n$$ равно $$7$$.
Ответ
а) $$1-0{,}9^n$$; б) возрастает; в) $$1$$; г) $$7$$.
