Упр.49.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В темном ящике n белых и n-1 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. a) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом n. в) К какому числу стремится эта вероятность при n — > оо? г) Найдите n, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

Общее число шаров в ящике равно $$n+(n-1)=2n-1.$$

Нужно найти вероятность того, что среди 4 вынутых шаров будет не меньше трёх белых. Это возможно в двух случаях:

• вынули 3 белых и 1 чёрный;
• вынули 4 белых.

Тогда

$$P(n)=\frac{C_n^3\cdot C_{n-1}^1+C_n^4\cdot C_{n-1}^0}{C_{2n-1}^4}.$$

Вычислим:

$$C_{n-1}^1=n-1,\qquad C_{n-1}^0=1,$$

$$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6},\qquad C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24},$$

$$C_{2n-1}^4=\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}.$$

Тогда

$$ P(n)=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}(n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}} =\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}. $$

Преобразуем:

$$ P(n)=\frac14\cdot \frac{n}{2n-1}\cdot \frac{5n-7}{2n-3} =\frac1{16}\left(1+\frac1{2n-1}\right)\left(5+\frac1{2n-3}\right). $$

При росте $$n$$ дроби $$\frac1{2n-1}$$ и $$\frac1{2n-3}$$ убывают, значит, вероятность $$P(n)$$ убывает.

Найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty}P(n)=\frac1{16}\cdot 1\cdot 5=\frac5{16}=0{,}3125. $$

Теперь решим неравенство:

$$ \frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}<0{,}35=\frac{35}{100}. $$

Так как знаменатель положителен при натуральных $$n$$, получаем

$$ 100(5n^2-7n)<140(2n-1)(2n-3). $$

$$ 500n^2-700n<140(4n^2-8n+3), $$

$$ 500n^2-700n<560n^2-1120n+420, $$

$$ 60n^2-420n+420>0, $$

$$ n^2-7n+7>0. $$

Корни квадратного трёхчлена:

$$ D=49-28=21,\qquad n_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{21}}{2}. $$

$$ n_1\approx 1{,}2,\qquad n_2\approx 5{,}7. $$

Следовательно, при натуральных $$n$$ неравенство выполняется начиная с $$n=6$$.

Ответ

а) $$P(n)=\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}$$; б) вероятность убывает; в) $$\frac5{16}=0{,}3125$$; г) $$n=6$$.