Упр.49.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что: a) все шары белые; б) имеется, как минимум, три белых шара; в) имеется, как минимум, два черных шара; г) есть хотя бы один белый шар.

Всего шаров $$8+7=15.$$

При одновременном вытаскивании 4 шаров используем формулу вероятности через число сочетаний:

$$P=\frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{число всех исходов}}.$$

1. а) Все шары белые.

   Благоприятные исходы: выбрать 4 белых шара из 8:

   $$P=\frac{C_8^4}{C_{15}^4}=\frac{70}{1365}=\frac{2}{39}\approx 0{,}051.$$

2. б) Имеется как минимум три белых шара.

   Это два случая: ровно 3 белых и 1 чёрный, либо 4 белых.

   $$P=\frac{C_8^3C_7^1+C_8^4}{C_{15}^4}.$$

   Вычислим:

   $$C_8^3=56,\quad C_7^1=7,\quad C_8^4=70,\quad C_{15}^4=1365.$$

   $$P=\frac{56\cdot 7+70}{1365}=\frac{462}{1365}\approx 0{,}338.$$

3. в) Имеется как минимум два чёрных шара.

   Удобнее найти вероятность противоположного события: чёрных шаров меньше двух, то есть 0 или 1.

   $$P=1-\frac{C_8^4+C_8^3C_7^1}{C_{15}^4}.$$

   Тогда

   $$P=1-\frac{70+56\cdot 7}{1365}=1-\frac{462}{1365}\approx 0{,}662.$$

4. г) Есть хотя бы один белый шар.

   Найдём вероятность противоположного события: все 4 шара чёрные.

   $$P=1-\frac{C_7^4}{C_{15}^4}=1-\frac{35}{1365}=\frac{1330}{1365}=\frac{38}{39}\approx 0{,}974.$$

Ответ

а) $$0{,}051$$; б) $$0{,}338$$; в) $$0{,}662$$; г) $$0{,}974$$.