Упр.49.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В темном ящике n выигрышных билетов и п проигрышных, n > 2. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. a) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом n. в) К какому числу стремится эта вероятность при n — > оо? г) Найдите n, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.

Подробный ответ

Обозначим через $$P(n)$$ вероятность того, что среди трёх вынутых билетов окажется ровно один проигрышный.

Всего билетов $$2n$$, из них $$n$$ выигрышных и $$n$$ проигрышных.

Тогда число благоприятных исходов равно $$C_n^2 \cdot C_n^1$$: нужно выбрать 2 выигрышных билета и 1 проигрышный. Общее число способов выбрать 3 билета из $$2n$$ равно $$C_{2n}^3$$.

Следовательно,

$$ P(n)=\frac{C_n^2\cdot C_n^1}{C_{2n}^3} =\frac{\frac{n(n-1)}{2}\cdot n}{\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}} =\frac{3n(n-1)}{2(2n-1)(2n-2)} =\frac{3n}{4(2n-1)}. $$

а) Итак,

$$P(n)=\frac{3n}{4(2n-1)}.$$

б) Преобразуем:

$$ P(n)=\frac{3n}{4(2n-1)}=\frac{3}{8}\cdot \frac{2n}{2n-1} =\frac{3}{8}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right). $$

При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{1}{2n-1}$$ убывает, значит убывает и $$P(n)$$. Следовательно, вероятность монотонно убывает с ростом $$n$$.

в) Найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3n}{4(2n-1)} =\frac{3}{8}\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n-1} =\frac{3}{8}. $$

Значит,

$$\lim_{n\to\infty}P(n)=\frac{3}{8}=0{,}375.$$

г) Решим неравенство:

$$ \frac{3n}{4(2n-1)}<0{,}4=\frac{2}{5}. $$

Так как $$4(2n-1)>0$$ при $$n>2$$, умножаем обе части на $$4(2n-1)$$: