Упр.49.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см. a) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см? б) Каков ответ в пункте a), если известно, что все умные, но не красивые — ростом ниже 180 см? в) Каков ответ в пункте a), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см? г) Каков ответ в пункте a), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?

Обозначим: А — умные, В — красивые, С — выше 180 см. Тогда

$$N(A \cup B)=30,\quad N(A)=24,\quad N(B)=26,\quad N(C)=14.$$

1. Найдём число умных и красивых:

   $$N(A \cap B)=N(A)+N(B)-N(A \cup B)=24+26-30=20.$$

   Тогда число тех, кто и умный, и красивый, и выше 180 см, равно

   $$N(A \cap B \cap C)=N(A \cap B)+N(C)-N(A \cup B \cup C)=20+14-30=4.$$

2. Если все умные, но не красивые, ниже 180 см, то

   $$N(B\setminus A)=N(B)-N(A \cap B)=24-20=4.$$

   Значит,

   $$N(A \cup B \cup C)=30-4=26.$$

   Тогда

   $$N(A \cap B \cap C)=20+14-26=8.$$

3. Если все красивые, но не умные, выше 180 см, то

   $$N(A\setminus B)=N(A)-N(A \cap B)=26-20=6.$$

   Тогда

   $$N(A \cup B \cup C)=30-6=24,$$

   а также

   $$N(C)=14-6=8.$$

   Следовательно,

   $$N(A \cap B \cap C)=20+8-24=4.$$

4. Если 12 умных — выше 180 см, то

   $$N(B \cap C)=12.$$

   Тогда

   $$N(A \cap B \cap C)=N(B \cap C)+N(A)-N(A \cup B \cup C)=12+26-30=8.$$

Ответ

а) 4; б) 8; в) 4; г) 8.