Упр.48.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше: a) С3(17) или C4(18); б) С4(18) или С5(19); в) С5(19) или С6(18); г) С7(n) или С8(n+1).

1. Сравним $$C_{17}^{3}$$ и $$C_{18}^{4}$$ по их отношению:

   $$ \frac{C_{17}^{3}}{C_{18}^{4}} = \frac{\frac{17!}{3!\,14!}}{\frac{18!}{4!\,14!}} = \frac{17!\cdot 4!}{3!\cdot 18!} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} < 1. $$

   Значит, $$C_{17}^{3} < C_{18}^{4}$$.

2. Сравним $$C_{18}^{4}$$ и $$C_{19}^{5}$$:

   $$ \frac{C_{18}^{4}}{C_{19}^{5}} = \frac{\frac{18!}{4!\,14!}}{\frac{19!}{5!\,14!}} = \frac{18!\cdot 5!}{4!\cdot 19!} = \frac{5}{19} < 1. $$

   Следовательно, $$C_{18}^{4} < C_{19}^{5}$$.

3. Сравним $$C_{19}^{5}$$ и $$C_{18}^{6}$$:

   $$ \frac{C_{19}^{5}}{C_{18}^{6}} = \frac{\frac{19!}{5!\,14!}}{\frac{18!}{6!\,12!}} = \frac{19!\cdot 6!\cdot 12!}{5!\cdot 14!\cdot 18!} = \frac{19\cdot 6}{14\cdot 13} = \frac{114}{182} < 1. $$

   Значит, $$C_{19}^{5} < C_{18}^{6}$$.

4. Сравним $$C_{n}^{7}$$ и $$C_{n+1}^{8}$$:

   $$ \frac{C_{n}^{7}}{C_{n+1}^{8}} = \frac{\frac{n!}{7!\,(n-7)!}}{\frac{(n+1)!}{8!\,(n-7)!}} = \frac{n!\cdot 8!}{7!\,(n+1)!} = \frac{8}{n+1}. $$

   Если $$\frac{8}{n+1} < 1$$, то $$n > 7$$ и тогда $$C_{n}^{7} < C_{n+1}^{8}$$.
   Если $$\frac{8}{n+1} = 1$$, то $$n = 7$$ и $$C_{n}^{7} = C_{n+1}^{8}$$.
   Случай $$\frac{8}{n+1} > 1$$ даёт $$n < 7$$, но тогда сравнение не соответствует условию для этих сочетаний.

   Итак, при $$n > 7$$ имеем $$C_{n}^{7} < C_{n+1}^{8}$$, а при $$n = 7$$ — равенство.

Ответ

а) $$C_{17}^{3} < C_{18}^{4}$$;
б) $$C_{18}^{4} < C_{19}^{5}$$;
в) $$C_{19}^{5} < C_{18}^{6}$$;
г) $$C_{n}^{7} < C_{n+1}^{8}$$ при $$n > 7$$, $$C_{n}^{7} = C_{n+1}^{8}$$ при $$n = 7$$.