Упр.48.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение: a) Pn * C3(n+1)/A(n-2)(n); б) P(n+1) * C(n-2)(n)/A(n)(n+1).

а) $$\frac{P_n\cdot C_{n+1}^3}{A_n^{\,n-2}}$$

Используем формулы:

$$P_n=n!, \quad C_{n+1}^3=\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}, \quad A_n^{\,n-2}=\frac{n!}{(n-(n-2))!}=\frac{n!}{2!}.$$

Тогда

$$ \frac{P_n\cdot C_{n+1}^3}{A_n^{\,n-2}} = \frac{n!\cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{2!}} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}\cdot 2! $$

$$ = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)!\cdot 2}{3\cdot 2\cdot (n-2)!} = \frac{n(n+1)(n-1)}{3}. $$

б) $$\frac{P_{n+1}\cdot C_n^{\,n-2}}{A_{n+1}^{\,n}}$$

Используем формулы:

$$P_{n+1}=(n+1)!, \quad C_n^{\,n-2}=\frac{n!}{(n-2)!\,2!}, \quad A_{n+1}^{\,n}=\frac{(n+1)!}{((n+1)-n)!}=(n+1)!.$$

Тогда

$$ \frac{P_{n+1}\cdot C_n^{\,n-2}}{A_{n+1}^{\,n}} = \frac{(n+1)!\cdot \frac{n!}{(n-2)!\,2!}}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n-2)!\,2!} $$

$$ = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\cdot 2} = \frac{n(n-1)}{2}. $$

Ответ

а) $$\frac{n(n+1)(n-1)}{3}$$; б) $$\frac{n(n-1)}{2}$$.