Упр.48.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия. a) Сколько существует различных типов билетов? б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны х в зону у рассчитывается по формуле S = 7 + 6 |x — у|? в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.? г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.?

а) В билете указываются номер зоны отправления и номер зоны прибытия. Каждую из этих зон можно выбрать 10 способами, значит, всего типов билетов:

$$10 \cdot 10 = 100.$$

б) Стоимость билета зависит только от разности номеров зон:

$$S = 7 + 6|x-y|.$$

Возможные значения $$|x-y|$$: $$0,1,2,\dots,9.$$

Значит, различных стоимостей тоже 10:

$$7+6\cdot 0,\; 7+6\cdot 1,\; 7+6\cdot 2,\; \dots,\; 7+6\cdot 9.$$

в) Нужно, чтобы

$$7 + 6|x-y| \le 50.$$

Тогда

$$6|x-y| \le 43,$$

откуда

$$|x-y| \le 7.$$

Не подходят только случаи $$|x-y|=8$$ и $$|x-y|=9$$.

При $$|x-y|=8$$ возможны 2 пары зон: $$1\leftrightarrow 9,\; 2\leftrightarrow 10.$$

При $$|x-y|=9$$ возможна 1 пара: $$1\leftrightarrow 10.$$

Каждая пара даёт 2 типа билетов, кроме случая с одинаковыми зонами, но здесь его нет. Поэтому исключается:

$$2\cdot 2 + 1\cdot 2 = 6$$

типов билетов.

Тогда

$$100 — 6 = 94.$$

г) Цена должна быть кратна 5:

$$7 + 6|x-y| \equiv 0 \pmod{5}.$$

Так как $$6 \equiv 1 \pmod{5}$$, получаем

$$7 + |x-y| \equiv 0 \pmod{5},$$

то есть

$$2 + |x-y| \equiv 0 \pmod{5}.$$

Следовательно,

$$|x-y| \equiv 3 \pmod{5}.$$

Из возможных значений $$0,1,\dots,9$$ подходят только

$$|x-y|=3 \text{ и } |x-y|=8.$$

Для $$|x-y|=3$$ число типов билетов равно $$2\cdot 7=14$$, а для $$|x-y|=8$$ — $$2\cdot 2=4$$.

Итого:

$$14+4=18.$$

Ответ

а) 100; б) 10; в) 94; г) 18.