Упр.48.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Докажите, что для любого натурального числа n > 1 и любого х > 0 верно неравенство (1 + х)n > 1 + nх (неравенство Бернулли). б) Используя неравенство пункта a), укажите какое-нибудь решение неравенства 1,001n > 1000. в) Используя неравенство пункта a), укажите какое-нибудь решение неравенства 0,99n < 0,01. г) Докажите, что для любого 0 < q < 1 и любого а > 0 неравенство qn < а верно для всех натуральных л, начиная с некоторого номера.

1. Докажем неравенство Бернулли для $$n>1$$ и $$x>0$$.

   По формуле бинома Ньютона

   $$ (1+x)^n= C_n^0 + C_n^1x + C_n^2x^2+\dots + C_n^n x^n. $$

   Так как $$C_n^0=1$$, $$C_n^1=n$$, а все остальные слагаемые положительны, то

   $$ (1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+\dots + C_n^n x^n>1+nx. $$

2. Решим неравенство $$1{,}001^n>1000$$.

   Имеем $$1{,}001=1+0{,}001$$, значит по неравенству Бернулли

   $$ (1+0{,}001)^n>1+n\cdot 0{,}001. $$

   Достаточно потребовать

   $$ 1+n\cdot 0{,}001>1000, $$

   откуда

   $$ 0{,}001n>999,\qquad n>999000. $$

   Подойдёт, например, $$n=999001$$.

3. Решим неравенство $$0{,}99^n<0{,}01$$.

   Запишем

   $$ 0{,}99^n=\left(1-\frac{1}{100}\right)^n. $$

   Рассмотрим обратные величины:

   $$ \left(\frac{100}{99}\right)^n>100. $$

   По неравенству Бернулли

   $$ \left(1+\frac{1}{99}\right)^n>1+\frac{n}{99}. $$

   Достаточно, чтобы

   $$ 1+\frac{n}{99}>100, $$

   то есть

   $$ \frac{n}{99}>99,\qquad n>9801. $$

   Подойдёт, например, $$n=9802$$.

4. Пусть $$0<q<1$$ и $$a>0$$. Нужно показать, что неравенство $$q^n<a$$ верно при всех достаточно больших натуральных $$n$$.

   Рассмотрим обратное неравенство:

   $$ q^n<a \iff \frac{1}{q^n}>\frac{1}{a}. $$

   Так как $$0<q<1$$, то

   $$ \frac{1}{q}=1+\frac{1-q}{q}>1. $$

   По неравенству Бернулли

   $$ \left(1+\frac{1-q}{q}\right)^n>1+n\cdot \frac{1-q}{q}. $$

   Достаточно, чтобы

   $$ 1+n\cdot \frac{1-q}{q}>\frac{1}{a}, $$

   то есть

   $$ n>\frac{q(1-a)}{a(1-q)}. $$

   Значит, для любого $$0<q<1$$ и любого $$a>0$$ неравенство $$q^n<a$$ выполняется для всех натуральных $$n$$, начиная с некоторого номера.

Ответ

а) $$ (1+x)^n>1+nx $$ при $$n>1$$ и $$x>0$$.

б) Подойдёт, например, $$n=999001$$.

в) Подойдёт, например, $$n=9802$$.

г) Для всех $$n>\dfrac{q(1-a)}{a(1-q)}$$.