Упр.48.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя. a) Найдите число всех возможных вариантов выбора. б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем. в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь. г) Найдите в пунктах a) и б), число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.
Обозначим выбор капитана и заместителя как упорядоченную пару, поэтому используем размещения.
а) Из 11 человек выбирают капитана и заместителя:
$$A_{11}^{2}=11\cdot 10=110.$$
б) Трое новичков не могут быть выбраны, значит, остаётся $$11-3=8$$ человек:
$$A_{8}^{2}=8\cdot 7=56.$$
в) Капитан не должен быть нападающим, а заместитель — вратарём.
Если капитан — вратарь, то заместителя можно выбрать из остальных $$10$$ человек.
Если капитан — защитник или полузащитник, то таких кандидатов $$4+4=8$$, а заместителя можно выбрать из оставшихся $$9$$ человек.
Тогда
$$A=10+8\cdot 9=10+72=82.$$
г) Если порядок не важен, считаем сочетания.
Для пункта а):
$$C_{11}^{2}=\frac{11\cdot 10}{2}=55.$$
Для пункта б):
$$C_{8}^{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28.$$
Ответ
а) 110; б) 56; в) 82; г) 55; 28.
