Упр.48.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите k, при котором достигается наибольшее значение выражения: a) Сk(5); б) Сk(16); в) Сk(61) г) С(k-1)(999) + Сk(999).

Наибольшее значение биномиального коэффициента $$C_n^k$$ достигается в середине строки Паскаля: при чётном $$n$$ — при $$k=\frac{n}{2}$$, при нечётном $$n$$ — при двух соседних значениях $$k=\frac{n-1}{2}$$ и $$k=\frac{n+1}{2}$$.

1. $$C_5^k$$

   Так как $$5$$ — нечётное число, наибольшее значение достигается при

   $$k=\frac{5-1}{2}=2 \quad \text{или} \quad k=\frac{5+1}{2}=3.$$

2. $$C_{16}^k$$

   Так как $$16$$ — чётное число, максимум достигается при

   $$k=\frac{16}{2}=8.$$

3. $$C_{61}^k$$

   Так как $$61$$ — нечётное число, наибольшее значение достигается при

   $$k=\frac{61-1}{2}=30 \quad \text{или} \quad k=\frac{61+1}{2}=31.$$

4. $$C_{999}^{k-1}+C_{999}^{k}$$

   По формуле Паскаля:

   $$C_{999}^{k-1}+C_{999}^{k}=C_{1000}^{k}.$$

   Теперь ищем максимум для $$C_{1000}^{k}$$. Так как $$1000$$ — чётное число, он достигается при

   $$k=\frac{1000}{2}=500.$$

Ответ

а) $$k=2$$ или $$k=3$$; б) $$k=8$$; в) $$k=30$$ или $$k=31$$; г) $$k=500$$.