Упр.48.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + b)n равна 1024. a) Найдите n. б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения. в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом? г) Дайте ответы на вопросы пунктов a), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + b)n равна 512.

Сумма биномиальных коэффициентов разложения $$\left(a+b\right)^n$$ равна $$2^n$$.

а) Тогда

$$2^n=1024=2^{10},$$

значит, $$n=10.$$

б) Наибольший биномиальный коэффициент в разложении находится в середине строки треугольника Паскаля. При $$n=10$$ это коэффициент

$$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=252.$$

в) Так как $$n=10$$ — чётное число, в разложении есть один наибольший коэффициент.

г) Если сумма биномиальных коэффициентов равна $$512,$$ то

$$2^n=512=2^9,$$

следовательно, $$n=9.$$

Наибольший коэффициент находится в середине разложения. Для нечётного $$n=9$$ таких коэффициентов два:

$$C_9^4=C_9^5=\frac{9!}{4!\,5!}=126.$$

Значит, наибольший биномиальный коэффициент равен $$126,$$ и таких коэффициентов два.

Ответ

а) $$10$$; б) $$252$$; в) $$1$$; г) $$9,\ 126,\ 2.$$