Упр.48.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите член разложения, не содержащий переменных: a) (2×2 + 1/x)6; б) (x(1/3) + x(4/3))5; в) (3 корень 4 степени а + 1/корень a)9; г) (x(0.75) + x(2/3))17.
Используем формулу бинома Ньютона:
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$
Член разложения, не содержащий переменных, получаем тогда, когда показатель степени при переменной равен $$0$$.
$$ \left(2x^2+\frac{1}{x}\right)^6 $$
Общий член:
$$ C_6^k(2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k $$
Показатель степени при $$x$$ равен
$$ 2(6-k)-k=12-3k $$
Приравниваем к нулю:
$$ 12-3k=0 \Rightarrow k=4 $$
Тогда искомый член:
$$ C_6^4(2x^2)^2\left(\frac{1}{x}\right)^4 =15\cdot 4x^4\cdot \frac{1}{x^4}=60 $$
$$ \left(x^{\frac13}+x^{-\frac43}\right)^5 $$
Общий член:
$$ C_5^k\left(x^{\frac13}\right)^{5-k}\left(x^{-\frac43}\right)^k $$
Показатель степени при $$x$$ равен
$$ \frac13(5-k)-\frac43k=\frac53-\frac53k $$
Приравниваем к нулю:
$$ \frac53-\frac53k=0 \Rightarrow k=1 $$
Тогда искомый член:
$$ C_5^1\left(x^{\frac13}\right)^4\left(x^{-\frac43}\right) =5\cdot x^{\frac43}\cdot x^{-\frac43}=5 $$
$$ \left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9 =\left(3a^{\frac14}+a^{-\frac12}\right)^9 $$
Общий член:
$$ C_9^k(3a^{\frac14})^{9-k}(a^{-\frac12})^k $$
Показатель степени при $$a$$ равен
$$ \frac14(9-k)-\frac12k=\frac94-\frac34k $$
Приравниваем к нулю:
$$ \frac94-\frac34k=0 \Rightarrow k=3 $$
Тогда искомый член:
$$ C_9^3(3a^{\frac14})^6(a^{-\frac12})^3 =84\cdot 729\cdot a^{\frac64}\cdot a^{-\frac32} =84\cdot 729=61236 $$
$$ \left(x^{0.75}+x^{-\frac23}\right)^{17} =\left(x^{\frac34}+x^{-\frac23}\right)^{17} $$
Общий член:
$$ C_{17}^k\left(x^{\frac34}\right)^{17-k}\left(x^{-\frac23}\right)^k $$
Показатель степени при $$x$$ равен
$$ \frac34(17-k)-\frac23k=\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k $$
Приравниваем к нулю:
$$ \frac{51}{4}-\frac{17}{12}k=0 \Rightarrow k=9 $$
Тогда искомый член:
$$ C_{17}^9\left(x^{\frac34}\right)^8\left(x^{-\frac23}\right)^9 =24310\cdot x^6\cdot x^{-6}=24310 $$
Ответ
а) $$60$$; б) $$5$$; в) $$61236$$; г) $$24310$$.
