Упр.48.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: У многочлена Р найдите коэффициент при х a) Р(х) = (1 + 3x)4; б) Р(х) = (3 — 2x)5; в) Р(х) = (x + 2)5 — (2x + 1)4; г) Р(х) = (x2 — x)4 + (3 — x/3)4;

1. Воспользуемся формулой бинома Ньютона и найдём коэффициент при $$x^3$$.

   $$P(x)=(1+3x)^4$$
   
   Коэффициент при $$x^3$$ равен
   $$C_4^3 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108.$$

2. $$P(x)=(3-2x)^5$$
   
   Коэффициент при $$x^3$$ равен
   $$C_5^3 \cdot 3^2 \cdot (-2)^3 = 10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720.$$

3. $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$
   
   Коэффициент при $$x^3$$ в первом многочлене:
   $$C_5^3 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40.$$
   
   Коэффициент при $$x^3$$ во втором многочлене:
   $$C_4^3 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32.$$
   
   Тогда общий коэффициент:
   $$40-32=8.$$

4. $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$
   
   В первом многочлене коэффициент при $$x^3$$:
   $$C_4^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (-x) \Rightarrow -4x^7,$$
   значит коэффициента при $$x^3$$ здесь нет.
   
   Во втором многочлене коэффициент при $$x^3$$:
   $$C_4^3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^3 = 4 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right)x^3 = -\frac{4}{9}x^3.$$
   
   Следовательно, коэффициент при $$x^3$$ равен
   $$-\frac{4}{9}.$$

Ответ

а) $$108$$; б) $$-720$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{4}{9}$$.