Упр.48.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно. a) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля. б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля. в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля. г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля равна 2n.

Подробный ответ

Первые семь строк треугольника Паскаля:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

a) Сумма чисел в третьей строке:

$$S_3=1+3+3+1=8=2^3.$$

б) Сумма чисел в четвертой строке:

$$S_4=1+4+6+4+1=16=2^4.$$

в) Сумма чисел в седьмой строке:

$$S_7=1+7+21+35+35+21+7+1=128=2^7.$$

г) Докажем по индукции, что сумма чисел в n-й строке равна $$2^n$$.

1. База индукции. Для нулевой строки сумма равна $$1=2^0.$$

2. Индукционный переход. Пусть сумма чисел в n-й строке равна $$S_n=2^n.$$ Рассмотрим строку с номером $$n+1$$. Каждый внутренний элемент этой строки равен сумме двух соседних элементов предыдущей строки, а на краях стоят единицы. Поэтому

$$ S_{n+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\cdots+(a_{n-1}+1)+1 $$
$$ =2\bigl(1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+1\bigr)=2S_n. $$

Тогда

$$S_{n+1}=2S_n=2\cdot 2^n=2^{n+1}.$$

Следовательно, сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля равна $$2^n$$ для любого $$n$$.