Упр.48.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) С3(n) = С2(n-1) + С3(n-1) б) С(n-4)(n) = С3(n-1) + С(n-4)(n-1) в) Сk(n) = С(k-1)(n-1) + Сk(n-1) г) Сk(n) = С(n-k)(n-1) + С(k-1)(n-2) + С(n-k-2)(n-2).

1. а) Используем формулу сочетаний:

   $$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!},\quad C_{n-1}^2=\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!},\quad C_{n-1}^3=\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}.$$

   Тогда

   $$ C_{n-1}^2+C_{n-1}^3 =\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!} =\frac{(n-1)(n-2)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(n-1)(n-2)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6} =\frac{(n-1)(n-2)\bigl(3+n-3\bigr)}{6} =\frac{n(n-1)(n-2)}{6}. $$

   А это и есть

   $$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$

2. б) Аналогично:

   $$C_n^{\,n-4}=C_n^4=\frac{n!}{4!(n-4)!},\quad C_{n-1}^3=\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!},\quad C_{n-1}^4=\frac{(n-1)!}{4!(n-5)!}.$$

   Тогда

   $$ C_{n-1}^3+C_{n-1}^4 =\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}+\frac{(n-1)!}{4!(n-5)!} =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}. $$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24} =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)\bigl(4+n-4\bigr)}{24} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}. $$

   Следовательно,

   $$C_n^{\,n-4}=C_{n-1}^3+C_{n-1}^4.$$

3. в) Используем формулу сочетаний:

   $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad C_{n-1}^{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!},\quad C_{n-1}^k=\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}.$$

   Тогда

   $$ C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k =\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}. $$

   Приведём к общему виду:

   $$ \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} =\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\bigl(k+n-k\bigr) =\frac{n!}{k!(n-k)!}. $$

   Значит,

   $$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k.$$

4. г) По формуле Паскаля:

   $$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k.$$

   Применим её ещё раз к слагаемому $$C_{n-1}^k$$:

   $$ C_{n-1}^k=C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k. $$

   Тогда

   $$ C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k. $$

   Следовательно, требуемое тождество выполняется.

Ответ

а) $$C_n^3=C_{n-1}^2+C_{n-1}^3$$; б) $$C_n^{\,n-4}=C_{n-1}^3+C_{n-1}^4$$; в) $$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$$; г) тождество следует из формулы Паскаля.