Упр.48.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите n, при котором: a) число C2(n+1) составляет 80% от числа С3(n); б) число С3(n+1), составляет 120% от числа С4(n); в) число C(n+1)(2n) составляет 56% от числа С(n-1)(2n+1); г) число Сn(2n+3) составляет 150% от числа С(n+2)(2n+2)

Подробный ответ

$$C_{n+1}^{2}=0{,}8\cdot C_n^{3}$$
Запишем через факториалы:
$$ \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=0{,}8\cdot \frac{n!}{3!(n-3)!} $$
$$ \frac{(n+1)n}{2}=0{,}8\cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$
При $n>0$ сокращаем на $n$:
$$ 3(n+1)=0{,}8(n-1)(n-2) $$
$$ 15(n+1)=4(n-1)(n-2) $$
$$ 15n+15=4n^2-12n+8 $$
$$ 4n^2-27n-7=0 $$
$$ D=27^2+4\cdot 4\cdot 7=841=29^2 $$
$$ n=\frac{27\pm 29}{8} $$
$$ n_1=7,\quad n_2=-\frac14 $$
Подходит только натуральное значение $n=7$.
$$C_{n+1}^{3}=1{,}2\cdot C_n^{4}$$
$$ \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=1{,}2\cdot \frac{n!}{4!(n-4)!} $$
$$ \frac{(n+1)n(n-1)}{6}=1{,}2\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} $$
При $n>0$ сокращаем на $n(n-1)$:
$$ 4(n+1)=1{,}2(n-2)(n-3) $$
$$ 20(n+1)=6(n-2)(n-3) $$
$$ 20n+20=6n^2-30n+36 $$
$$ 6n^2-50n+16=0 $$
$$ D=50^2-4\cdot 6\cdot 16=2116=46^2 $$
$$ n=\frac{50\pm 46}{12} $$
$$ n_1=8,\quad n_2=\frac13 $$
Подходит только натуральное значение $n=8$.
$$C_{2n}^{\,n+1}=0{,}56\cdot C_{2n+1}^{\,n-1}$$
$$ \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} $$
$$ \frac{(2n)!}{(n+1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)!}{(n+2)!} $$
$$ 1=0{,}56\cdot \frac{2n+1}{n+2} $$
$$ n+2=0{,}56(2n+1) $$
$$ n+2=1{,}12n+0{,}56 $$
$$ 1{,}44=0{,}12n $$
$$ n=12 $$
$$C_{2n+3}^{\,n}=1{,}5\cdot C_{2n+2}^{\,n+2}$$
$$ \frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}=1{,}5\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)!(n)!} $$
$$ \frac{(2n+3)(2n+2)!}{n!(n+3)(n+2)!}=1{,}5\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)n!} $$
Сокращаем на $(2n+2)!$ и $n!$:
$$ \frac{2n+3}{n+3}=1{,}5 $$
$$ 2n+3=1{,}5(n+3) $$
$$ 2n+3=1{,}5n+4{,}5 $$
$$ 0{,}5n=1{,}5 $$
$$ n=3 $$