Упр.48.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Докажите, что последовательность A4(n+1)/C4(n+2), n = 3, 4, 5,… монотонно возрастает. б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4. в) Укажите номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20. г) Найдите предел этой последовательности при n — > оо.

Преобразуем общий член последовательности:

$$ \frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!}\cdot \frac{4!(n+2-4)!}{(n+2)!} = \frac{(n+1)!}{(n-3)!}\cdot \frac{24\,(n-2)!}{(n+2)!} $$

Так как

$$ \frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2), \qquad \frac{(n-2)!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)n(n-1)}, $$

то

$$ \frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4}=24\cdot \frac{n-2}{n+2}, \qquad n=3,4,5,\ldots $$

а) Рассмотрим функцию

$$ a_n=24\cdot \frac{n-2}{n+2}=24\left(1-\frac{4}{n+2}\right). $$

При увеличении $n$ дробь $$\frac{4}{n+2}$$ убывает, значит выражение $$1-\frac{4}{n+2}$$ возрастает. Следовательно, последовательность $$a_n$$ монотонно возрастает.

б) Для всех $$n\ge 3$$ имеем

$$ a_n=24\cdot \frac{n-2}{n+2}\ge 24\cdot \frac{3-2}{3+2}=24\cdot \frac15=\frac{24}{5}>4. $$

Значит, все члены последовательности больше числа 4.

в) Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство

$$ 24\cdot \frac{n-2}{n+2}>20. $$

Так как $$n+2>0$$, умножаем обе части на $$n+2$$:

$$ 24(n-2)>20(n+2) $$

$$ 24n-48>20n+40 $$

$$ 4n>88 $$

$$ n>22. $$

Наименьший номер: $$n=23$$.

г) Найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty} 24\cdot \frac{n-2}{n+2} = 24\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}} = 24\cdot \frac{1-0}{1+0} =24. $$

Ответ

а) последовательность монотонно возрастает; б) все члены больше 4; в) $$n=23$$; г) $$24$$.