Упр.48.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Каждую из n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной. a) Сколько провели отрезков? б) Сколько провели диагоналей? в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В? г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)?

Соединим каждую вершину выпуклого $$n$$-угольника с каждой другой вершиной.

1. Всего отрезков равно числу способов выбрать 2 вершины из $$n$$:

   $$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

2. Диагонали — это все отрезки, кроме сторон. У каждой вершины есть $$n-3$$ диагонали, а каждая диагональ учитывается дважды, поэтому

   $$\frac{n(n-3)}{2}.$$

3. Для двузвенной ломаной из $$A$$ в $$B$$ нужно выбрать одну промежуточную вершину. Таких вершин $$n-2$$, значит

   $$n-2.$$

4. Для трехзвенной ломаной из $$A$$ в $$B$$ выбираем две промежуточные вершины: для первого звена есть $$n-2$$ вариантов, для второго — $$n-3$$, для третьего — $$1$$ вариант. Тогда

   $$ (n-2)(n-3). $$

Ответ

а) $$\frac{n(n-1)}{2}$$; б) $$\frac{n(n-3)}{2}$$; в) $$n-2$$; г) $$(n-2)(n-3)$$.