Упр.48.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть у(n) = A5(n)/C3(n-1) a) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки (n; у(n)). б) Постройте график этого многочлена. в) Укажите наибольшее n, при котором у(n) < 600. г) Укажите наименьшее n, при котором у(n) > 6000.

$$y(n)=\frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}, \quad n\ge 4.$$

Используем формулы сочетаний и размещений:

$$A_n^5=\frac{n!}{(n-5)!}, \qquad C_{n-2}^3=\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!}.$$

Тогда

$$ y(n)=\frac{n!}{(n-5)!}:\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} =\frac{n!}{(n-5)!}\cdot\frac{3!(n-5)!}{(n-2)!} =6\cdot\frac{n!}{(n-2)!} =6n(n-1). $$

Значит, все точки $$\bigl(n;y(n)\bigr)$$ лежат на графике многочлена

$$y=6x(x-1).$$

Для построения графика удобно отметить несколько точек:

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -1 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & 12 & 0 & -1{,}5 & 0 & 12 \end{array} $$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина находится в точке $$\left(0{,}5;\,-1{,}5\right).$$

Найдём наибольшее $$n$$, при котором $$y(n)<600$$:

$$ 6n(n-1)<600 $$

$$ n(n-1)<100 $$

$$ n^2-n-100<0 $$

Корни уравнения $$n^2-n-100=0$$:

$$ D=1+400=401,\qquad n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{401}}{2}. $$

Так как $$\sqrt{401}\approx 20{,}0,$$ получаем

$$ n_1\approx -9{,}5,\qquad n_2\approx 10{,}5. $$

Следовательно, $$-9{,}5<n<10{,}5,$$ а с учётом $$n\ge 4$$ наибольшее целое $$n$$ равно $$10$$.

Теперь найдём наименьшее $$n$$, при котором $$y(n)>6000$$:

$$ 6n(n-1)>6000 $$

$$ n(n-1)>1000 $$

$$ n^2-n-1000>0 $$

Корни уравнения $$n^2-n-1000=0$$:

$$ D=1+4000=4001,\qquad \sqrt{4001}\approx 63. $$

Тогда

$$ n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{4001}}{2}\approx -31 \text{ и } 32. $$

Неравенство выполняется при $$n<-31$$ или $$n>32.$$ С учётом $$n\ge 4$$ наименьшее целое $$n$$ равно $$33$$.

Ответ

а) $$y=6x(x-1)$$; б) парабола с вершиной $$\left(0{,}5;\,-1{,}5\right)$$; в) $$n=10$$; г) $$n=33$$.