Упр.48.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть у(n) =C3(n)/A3(n-1), n > =4 a) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки (n; у(n)). б) Постройте график этой функции. в) Укажите наибольшее n, при котором у(n) > 0,25. г) Укажите наименьшее n, при котором у(n) отличается от 1/6 менее чем на 0,01.

$$y(n)=\frac{C_n^3}{A_{n-1}^3}, \quad n\ge 4.$$

а) Найдём вид функции:

$$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}, \qquad A_{n-1}^3=\frac{(n-1)!}{(n-4)!}.$$

Тогда

$$ y(n)=\frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{(n-1)!}{(n-4)!}} =\frac{n!}{6(n-3)!}\cdot\frac{(n-4)!}{(n-1)!} =\frac{n}{6(n-3)}. $$

Значит, все точки $$\bigl(n;y(n)\bigr)$$ лежат на графике функции

$$y=\frac{x}{6(x-3)}.$$

б) Для построения графика рассмотрим основные свойства функции:

$$x\ne 3,$$

вертикальная асимптота: $$x=3,$$

горизонтальная асимптота:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{6(x-3)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{6\left(1-\frac{3}{x}\right)} =\frac16. $$

Для построения можно отметить несколько точек:

График — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=\frac16$$.

в) Решим неравенство:

$$ \frac{n}{6(n-3)}>\frac14. $$

Так как $$n\ge 4,$$ то $$6(n-3)>0,$$ можно умножить на знаменатель:

$$ 4n>6(n-3) $$

$$ 4n>6n-18 $$

$$ -2n>-18 $$

$$ n<9. $$

При натуральных $$n\ge 4$$ наибольшее значение равно $$8$$.

г) Решим неравенство:

$$ \left|\frac{n}{6(n-3)}-\frac16\right|<0{,}01. $$

Преобразуем:

$$ \left|\frac{n-(n-3)}{6(n-3)}\right| =\left|\frac{3}{6(n-3)}\right| =\left|\frac{1}{2(n-3)}\right| <0{,}01. $$

Так как $$n\ge 4,$$ то $$n-3>0,$$ значит

$$ \frac{1}{2(n-3)}<\frac{1}{100}. $$

Отсюда

$$ 100<2(n-3) $$

$$ 50<n-3 $$

$$ n>53. $$

Наименьшее натуральное $$n$$ равно $$54$$.

Ответ

а) $$y=\frac{x}{6(x-3)}$$; б) график этой функции — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=\frac16$$; в) $$8$$; г) $$54$$.