Упр.48.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц. a) Сколько существует различных вариантов состава хора? б) То же, но если известно, что певцы A и Б ни за что не будут петь вместе. в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В. г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице.

Подробный ответ

Обозначим число способов выбора сочетаний через сочетания.

Выбрать 5 певцов из 10 можно:

$$C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252.$$

Выбрать 3 певиц из 8 можно:

$$C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=56.$$

а) Общее число вариантов состава хора:

$$A=C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3}=252\cdot 56=14112.$$

б) Если певцы A и Б не могут петь вместе, то из всех способов выбора 5 певцов исключим те, где выбраны оба этих певца.

Если A и Б уже выбраны, то остаётся выбрать ещё 3 певцов из 8:

$$C_{8}^{3}=56.$$

Тогда число допустимых способов выбрать певцов:

$$C_{10}^{5}-C_{8}^{3}=252-56=196.$$

Певиц по-прежнему выбираем $$C_{8}^{3}=56$$ способами, значит:

$$A=196\cdot 56=10976.$$

в) Пусть певец A будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица B. Рассмотрим два случая.

1) A и B оба поют. Тогда остаётся выбрать ещё 4 певцов из 9 и 2 певиц из 7:

$$C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2}=126\cdot 21.$$

2) A и B оба не поют. Тогда выбираем 5 певцов из 9 и 3 певиц из 7:

$$C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3}=126\cdot 35.$$

Итак, всего:

$$A=C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2}+C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3}=126\cdot 21+126\cdot 35=7056.$$

г) Если 6 певцов не могут петь, то остаётся 4 певца, а недостающего певца заменяет одна певица. Значит, нужно выбрать всех 4 оставшихся певцов и ещё 4 певиц из 8:

$$A=C_{8}^{4}=70.$$

Но по условию хора должно быть 5 певцов и 3 певицы, а вместо одного певца выступает певица, значит выбираем 3 певиц из 8 для основного состава и 1 певицу на замену из оставшихся 5:

$$A=C_{8}^{3}\cdot 5=56\cdot 5=280.$$