Упр.48.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие). a) Найдите число всех возможных трезвучий. б) Найдите число всех возможных аккордов. в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль». г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

Обозначим 7 нот одной октавы: до, ре, ми, фа, соль, ля, си.

1. Число всех возможных трезвучий, если порядок важен:

   $$A_7^3=\frac{7!}{(7-3)!}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

2. Число всех возможных аккордов, если порядок не важен:

   $$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2}=35.$$

3. Число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль»:

   Нужно выбрать ещё 2 ноты из оставшихся 6:

   $$C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

4. Число всех возможных трезвучий, в которых не идут подряд две соседние ноты:

   Всего трезвучий:

   $$A_7^3=210.$$

   Посчитаем трезвучия, где есть хотя бы одна пара соседних нот. Таких пар 7: $$\text{до-ре},\ \text{ре-ми},\ \text{ми-фа},\ \text{фа-соль},\ \text{соль-ля},\ \text{ля-си},\ \text{си-до}.$$

   Для каждой пары соседних нот третью ноту можно выбрать 5 способами, а порядок двух соседних нот — 2 способами. Тогда:

   $$7\cdot 2\cdot 5=70.$$

   Но трезвучия с тремя подряд идущими нотами посчитаны дважды. Таких тройных наборов 7, значит нужно вычесть 7:

   $$70-7=63.$$

   Тогда искомое число:

   $$210-63=147.$$

Ответ

а) $$210$$; б) $$35$$; в) $$15$$; г) $$147$$.