Упр.48.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 120 < А5(k-3) < 140; б) C2(6) < А2(n) < C2(8); в) C2(10) < А2(х) < 60; г) C2(19) < А2(х) + C2(х) < 200.
а) $$120<A_{k-3}^{2}<140$$
$$A_{k-3}^{2}=\frac{(k-3)!}{(k-5)!}=(k-3)(k-4)$$
Тогда
$$120<(k-3)(k-4)<140.$$
Проверим целое значение:
$$15\cdot 12=180,$$
значит, подходит $$k=15.$$
б) $$C_6^2<A_n^2<C_8^2$$
$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15,\qquad C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28,$$
а также
$$A_n^2=n(n-1).$$
Получаем
$$15<n(n-1)<28.$$
Проверка целых значений даёт $$n=5,$$ так как $$5\cdot 4=20.$$
в) $$C_{10}^2<A_x^2<60$$
$$C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45,\qquad A_x^2=x(x-1).$$
Тогда
$$45<x(x-1)<60.$$
Проверяем целые значения: $$8\cdot 7=56,$$ а $$7\cdot 6=42,$$ $$9\cdot 8=72.$$
Следовательно, $$x=8.$$
г) $$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$$
$$C_{19}^2=\frac{19\cdot 18}{2}=171,$$
$$A_x^2=x(x-1),\qquad C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}.$$
Тогда
$$171<x(x-1)+\frac{x(x-1)}{2}<200,$$
$$171<\frac{3}{2}x(x-1)<200.$$
Умножим на $$2$$:
$$342<3x(x-1)<400,$$
$$114<x(x-1)<133\frac{1}{3}.$$
Проверяем целые значения: $$12\cdot 11=132,$$ значит, $$x=12.$$
Ответ
а) $$k=15$$; б) $$n=5$$; в) $$x=8$$; г) $$x=12$$.
