Упр.48.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) С3(х) = А2(х) б) С4(х) = А3(х) в) С5(х) = А3(х) + С3(х) г) 0,5А4(х) = 3(А3(х-1) + С3(х-1))

Подробный ответ

а) $$C_x^3=A_x^2$$
Используем формулы:
$$C_x^3=\frac{x!}{3!(x-3)!}, \qquad A_x^2=\frac{x!}{(x-2)!}.$$
Тогда
$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{x!}{(x-2)!}.$$
Сократим на $$x!$$:
$$\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)!}.$$
Так как $$ (x-2)!=(x-2)(x-3)! $$, получаем
$$\frac{1}{6}=\frac{1}{x-2}.$$
Отсюда $$x-2=6$$, значит $$x=8$$.
б) $$C_x^4=A_x^3$$
Запишем формулы:
$$C_x^4=\frac{x!}{4!(x-4)!}, \qquad A_x^3=\frac{x!}{(x-3)!}.$$
Тогда
$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}.$$
Сокращаем на $$x!$$:
$$\frac{1}{4!(x-4)!}=\frac{1}{(x-3)!}.$$
Так как $$ (x-3)!=(x-3)(x-4)! $$, имеем
$$\frac{1}{24}=\frac{1}{x-3}.$$
Следовательно, $$x-3=24$$, откуда $$x=27$$.
в) $$C_x^4=A_x^3+C_x^3$$
Подставим формулы:
$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{3!(x-3)!}.$$
Сократим на $$x!$$ и приведём правую часть к общему знаменателю:
$$\frac{1}{4!(x-4)!}=\frac{1}{(x-3)!}+\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{1+3!}{3!(x-3)!}.$$
Умножим обе части на $$4!(x-4)!$$:
$$1=4!\cdot \frac{(x-4)!}{3!(x-3)!}+4!\cdot \frac{(x-4)!}{(x-3)!}.$$
Так как $$ (x-3)!=(x-3)(x-4)! $$, получаем
$$1=\frac{4!}{3!(x-3)}+\frac{4!}{x-3}=\frac{4+24}{x-3}.$$
Отсюда
$$x-3=28,\qquad x=31.$$
г) $$0{,}5A_x^4=3\left(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3\right)$$
Запишем через факториалы:
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x!}{(x-4)!}=3\left(\frac{(x-1)!}{((x-1)-3)!}+\frac{(x-1)!}{3!((x-1)-3)!}\right).$$
То есть
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x!}{(x-4)!}=3\left(\frac{(x-1)!}{(x-4)!}+\frac{(x-1)!}{3!(x-4)!}\right).$$
Вынесем общий множитель:
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x!}{(x-4)!}=3\cdot \frac{(x-1)!}{(x-4)!}\left(1+\frac{1}{3!}\right).$$
Так как $$x!=x(x-1)!$$, получаем
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x(x-1)!}{(x-4)!}=3\cdot \frac{(x-1)!}{(x-4)!}\cdot \frac{7}{6}.$$
Сокращаем на $$\frac{(x-1)!}{(x-4)!}$$:
$$\frac{x}{2}=\frac{7}{2}.$$
Следовательно, $$x=7$$.