Упр.48.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) А5(х) = 18А4(х-2) б) А2(х-1) — С1(х) = 79

1. а) $$A_x^5=18A_{x-2}^4$$

   По формуле размещений:

   $$ A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} $$

   Тогда

   $$ \frac{x!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!} $$

   $$ \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)(x-6)(x-2)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!} $$

   Сократим и получим:

   $$ \frac{x(x-1)}{x-5}=18 $$

   $$ x(x-1)=18(x-5) $$

   $$ x^2-x=18x-90 $$

   $$ x^2-19x+90=0 $$

   $$ D=19^2-4\cdot 90=361-360=1 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{19\pm 1}{2} $$

   $$ x_1=9,\quad x_2=10 $$

2. б) $$A_{x-1}^2-C_x^1=79$$

   Используем формулы:

   $$ A_{x-1}^2=\frac{(x-1)!}{(x-3)!},\qquad C_x^1=\frac{x!}{1!(x-1)!}=x $$

   Тогда

   $$ \frac{(x-1)!}{(x-3)!}-x=79 $$

   $$ (x-1)(x-2)-x=79 $$

   $$ x^2-3x+2-x=79 $$

   $$ x^2-4x-77=0 $$

   $$ D=4^2+4\cdot 77=16+308=324 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{4\pm 18}{2} $$

   $$ x_1=-7,\quad x_2=11 $$

   С учётом области определения подходит только $$x=11$$.

Ответ

а) $$x=9$$ или $$x=10$$; б) $$x=11$$.