Упр.48.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) C3(x) = 2C2(x); б) C(x-2)(x) = 15; в) C2(x) + C2(x+1) = 49; г) Cx(8) = 70.

1. $$C_x^3=2C_x^2$$

   По формуле сочетаний:

   $$\frac{x!}{3!(x-3)!}=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}$$

   Сократим на $$x!$$:

   $$\frac{1}{3!(x-3)!}=2\cdot \frac{1}{2!(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{6(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)(x-3)!}$$

   $$\frac{1}{6}=\frac{1}{x-2}$$

   $$x-2=6,\quad x=8$$

2. $$C_x^{x-2}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\,2!}=15$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}=15$$

   $$x(x-1)=30$$

   $$x^2-x-30=0$$

   $$D=1+120=121$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{2}$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=6$$

   Так как $$x\ge 2$$, подходит только $$x=6$$.

3. $$C_x^2+C_{x+1}^2=49$$

   $$\frac{x!}{2!(x-2)!}+\frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}=49$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x+1)x}{2}=49$$

   $$\frac{x(x-1+x+1)}{2}=49$$

   $$x^2=49$$

   $$x=7$$

   С учётом области определения $$x\ge 2$$ получаем $$x=7$$.

4. $$C_8^x=70$$

   $$\frac{8!}{x!(8-x)!}=70$$

   Так как $$8!=40320$$, то

   $$x!(8-x)!=\frac{40320}{70}=576$$

   Проверяем целые значения $$x$$ при $$0\le x\le 8$$. Подходит $$x=4$$:

   $$4!\cdot 4!=24\cdot 24=576$$

Ответ

а) $$x=8$$; б) $$x=6$$; в) $$x=7$$; г) $$x=4$$.