Упр.48.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что: a) каждый здоровался с каждым; б) только один человек не здоровался ни с кем; в) только двое не поздоровались между собой; г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

Обозначим через $$n$$ число людей. Число рукопожатий между всеми парами равно $$C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$$.

1. Если каждый здоровался с каждым, то

   $$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70.$$

   Проверяем целые значения: при $$n=12$$ получаем

   $$\frac{12\cdot 11}{2}=66,$$

   что подходит. Значит, $$n=12$$.

2. Если один человек ни с кем не здоровался, то рукопожатий было столько же, сколько среди остальных $$n-1$$ человек:

   $$60 \le \frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 70.$$

   При $$n=13$$ имеем

   $$\frac{12\cdot 11}{2}=66,$$

   поэтому $$n=13$$.

3. Если только двое не поздоровались между собой, то число рукопожатий на одно меньше, чем при полном числе пар:

   $$60 \le \frac{n(n-1)}{2}-1 \le 70.$$

   Тогда

   $$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71.$$

   При $$n=12$$ получаем $$\frac{12\cdot 11}{2}=66,$$ значит, $$n=12$$.

4. Если четверо поздоровались только между собой, а остальные поздоровались только между собой, то

   $$60 \le C_4^2 + C_{n-4}^2 \le 70.$$

   Так как

   $$C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6,$$

   получаем

   $$60 \le 6+\frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70.$$

   Отсюда

   $$120 \le 12+(n-4)(n-5) \le 140,$$

   $$108 \le n^2-9n \le 128.$$

   Проверка даёт $$n=15$$.

Ответ

а) $$12$$; б) $$13$$; в) $$12$$; г) $$15$$.