Упр.47.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр? б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр? в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5? г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

1. Трехзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a \neq 0$$.

   а) Если число составлено только из четных цифр, то:

   $$a \in \{2,4,6,8\}, \quad b \in \{0,2,4,6,8\}, \quad c \in \{0,2,4,6,8\}.$$

   Тогда

   $$4 \cdot 5 \cdot 5 = 100.$$

2. б) Если число не меняется при перемене местами первой и последней цифр, то $$a=c$$.

   Выборы такие:

   $$a \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \quad b \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

   Следовательно,

   $$9 \cdot 10 = 90.$$

3. в) Трехзначное число кратно 5, если последняя цифра равна $$0$$ или $$5$$.

   Тогда:

   $$a \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \quad b \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \quad c \in \{0,5\}.$$

   Получаем

   $$9 \cdot 10 \cdot 2 = 180.$$

4. г) Пусть $$x=100a+10b+c$$, а после перемены местами первой и второй цифр получаем $$y=100b+10a+c$$.

   По условию:

   $$|x-y|<90.$$

   Тогда

   $$|100a+10b+c-(100b+10a+c)|<90,$$

   $$|90(a-b)|<90,$$

   $$|a-b|<1.$$

   Так как $$a$$ и $$b$$ — целые цифры, то отсюда следует $$a=b$$.

   Значит, первая и вторая цифры совпадают, а третья цифра может быть любой:

   $$9 \cdot 10 = 90.$$

Ответ

а) 100; б) 90; в) 180; г) 90.