Упр.47.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2,66 < 1+ 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! при всех n > = 3; б) 1/24 + 1/25 + … + 1/2n < 0,125 при всех n > = 4; в) 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! < 3 при всех n (используйте пункт б) и номер 47.18 в)); г) 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! < 2,75 при всех n.

1. При $$n \ge 3$$ правая часть неравенства возрастает, поэтому достаточно проверить её при $$n=3$$:

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} =2+\frac{2}{3} =2,(6). $$

   Так как $$2,(6) > 2,66$$, то неравенство верно.

2. Рассмотрим сумму

   $$ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}. $$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\frac{1}{16}$$ и знаменателем $$q=\frac{1}{2}$$. Тогда

   $$ S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{1/16}{1-1/2} =\frac{1}{16}\cdot 2 =\frac{1}{8} =0,125. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n} < 0,125. $$

3. Из предыдущего пункта известно, что при $$n \ge 4$$ выполняется $$n! > 2^n$$, значит

   $$ \frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n}. $$

   Тогда

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\right) +\left(\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right). $$

   Оцениваем:

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} =\frac{8}{3}, $$

   а по пункту б)

   $$ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n} < \frac{1}{8}. $$

   Значит,

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \frac{8}{3}+\frac{1}{8} =\frac{67}{24} <3. $$

4. Снова используем оценку $$\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n}$$ при $$n \ge 4$$:

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\right) +\left(\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right). $$

   Вычислим первую сумму:

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!} =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120} =\frac{163}{60}. $$

   Вторая сумма — геометрическая прогрессия с первым членом $$\frac{1}{64}$$ и знаменателем $$\frac{1}{2}$$, поэтому

   $$ \frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\cdots+\frac{1}{2^n} < \frac{1/64}{1-1/2} =\frac{1}{32}. $$

   Тогда

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \frac{163}{60}+\frac{1}{32} =\frac{1319}{480} \approx 2,75. $$

   Следовательно,

   $$ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < 2,75. $$

Ответ

а) верно при всех $$n \ge 3$$; б) верно при всех $$n \ge 4$$; в) верно при всех $$n$$; г) верно при всех $$n$$.