Упр.47.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите неравенство: a) n! > (n + З)2 при n > 5; б) n! > (n + 2)3 при n > 6; в) n! > 2n при n > 4; г) n! > 4n при n > 9.

Подробный ответ

Докажем неравенство $$n! > (n+3)^2$$ при $$n \ge 5$$.
Рассмотрим отношение соседних значений:
$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,$$
$$\frac{(n+4)^2}{(n+3)^2}=\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2.$$
Достаточно показать, что
$$n+1 > \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2.$$
Это равносильно
$$ (n+1)(n+3)^2 > (n+4)^2.$$
При $$n \ge 1$$ это верно, значит левая часть растёт быстрее правой.
Проверим начальное значение при $$n=5$$:
$$5! = 120,\qquad (5+3)^2 = 64.$$
Следовательно, $$5! > 8^2$$, а значит и для всех $$n \ge 5$$ неравенство верно.
Докажем неравенство $$n! > (n+2)^3$$ при $$n \ge 6$$.
Сравним приращения:
$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,$$
$$\frac{(n+3)^3}{(n+2)^3}=\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3.$$
Нужно, чтобы
$$n+1 > \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3,$$
то есть
$$ (n+1)(n+2)^3 > (n+3)^3.$$
При $$n \ge 2$$ это выполняется, значит левая часть растёт быстрее.
Проверим при $$n=6$$:
$$6! = 720,\qquad (6+2)^3 = 512.$$
Следовательно, $$6! > 8^3$$, значит неравенство верно при всех $$n \ge 6$$.
Докажем неравенство $$n! > 2^n$$ при $$n \ge 4$$.
Имеем:
$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,\qquad \frac{2^{n+1}}{2^n}=2.$$
Так как
$$n+1 > 2 \quad \text{при} \quad n > 1,$$
то факториал растёт быстрее степени двойки.
Проверим при $$n=4$$:
$$4! = 24,\qquad 2^4 = 16.$$
Значит, $$4! > 2^4$$, и неравенство верно при всех $$n \ge 4$$.
Докажем неравенство $$n! > 4^n$$ при $$n \ge 9$$.
Сравним приращения:
$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,\qquad \frac{4^{n+1}}{4^n}=4.$$
Если
$$n+1 > 4,$$
то $$n!$$ растёт быстрее $$4^n$$. Это верно при $$n > 3$$.
Проверим при $$n=9$$:
$$9! = 362880,\qquad 4^9 = 262144.$$
Следовательно, $$9! > 4^9$$, значит неравенство верно при всех $$n \ge 9$$.