Упр.47.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких натуральных значениях п выполняется неравенство: a) n! > (n + 1)(n — 2)!; б) 7 • (2n + 1)! (2n — 1)! < 8 ((2n)!)2?

а) Преобразуем неравенство:

$$n! > (n+1)(n-2)!$$

Так как $$n! = n(n-1)(n-2)!,$$ получаем

$$n(n-1)(n-2)! > (n+1)(n-2)!.$$

При $$n \ge 2$$ число $$ (n-2)! > 0,$$ поэтому можно сократить на него:

$$n(n-1) > n+1.$$

$$n^2-n-n-1 > 0$$

$$n^2-2n-1 > 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D = (-2)^2 — 4\cdot 1 \cdot (-1) = 8,$$

$$n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.$$

Тогда

$$n < 1-\sqrt{2} \quad \text{или} \quad n > 1+\sqrt{2}.$$

С учётом натуральных значений $$n$$ получаем:

$$n \ge 3.$$

б) Преобразуем неравенство:

$$7\cdot (2n+1)!\cdot (2n-1)! < 8\cdot ((2n)!)^2.$$

Так как

$$ (2n+1)! = (2n+1)(2n)!, \qquad (2n-1)! = \frac{(2n)!}{2n},$$

то

$$7(2n+1)(2n)!\cdot \frac{(2n)!}{2n} < 8((2n)!)^2.$$

Сократим на $$((2n)!)^2 > 0$$:

$$\frac{7(2n+1)}{2n} < 8.$$

Умножим на $$2n > 0$$:

$$7(2n+1) < 16n,$$

$$14n+7 < 16n,$$

$$7 < 2n,$$

$$n > 3{,}5.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

$$n \ge 4.$$

Ответ

а) $$n \ge 3$$; б) $$n \ge 4$$.