Упр.47.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) n! = 42(n — 2)!; б) (k + 17)! = 420(k + 15)!; в) 0,125n! = (n — 1)! — 90; г) (3x)! = 504(3x — 3)!.

Подробный ответ

$$n! = 42(n-2)!$$
Так как $$n! = n(n-1)(n-2)!,$$ получаем
$$n(n-1)(n-2)! = 42(n-2)!.$$
Сократим на $$ (n-2)! $$:
$$n(n-1)=42.$$
$$n^2-n-42=0.$$
$$D=1+168=169,$$
$$n=\frac{1\pm 13}{2}.$$
Отсюда $$n=-6$$ или $$n=7.$$
Так как решение может быть только натуральным числом, получаем $$n=7.$$
$$ (k+17)! = 420(k+15)! $$
Раскроем факториал:
$$ (k+17)(k+16)(k+15)! = 420(k+15)!.$$
Сократим на $$ (k+15)! $$:
$$ (k+17)(k+16)=420.$$
$$ k^2+33k+272=420,$$
$$ k^2+33k-148=0.$$
$$ D=33^2+4\cdot 148=1089+592=1681,$$
$$ k=\frac{-33\pm 41}{2}.$$
Получаем $$k=-37$$ или $$k=4.$$
Так как $$k$$ — натуральное число, то $$k=4.$$
$$0{,}125\,n! = (n-1)! — 90.$$
Так как $$0{,}125=\frac18,$$ а $$n!=n(n-1)!,$$ имеем
$$\frac18\,n(n-1)! = (n-1)! — 90.$$
Умножим на $$8$$:
$$n(n-1)! = 8(n-1)! — 720.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$8(n-1)! — n(n-1)! = 720.$$
$$ (n-1)!(8-n)=720.$$
Так как факториал определён при $$n\ge 1,$$ а правая часть положительна, то $$8-n>0,$$ значит $$n<8.$$
Проверяем натуральные значения. При $$n=7$$:
$$6!\cdot (8-7)=720,$$
что верно.
Следовательно, $$n=7.$$
$$ (3x)! = 504(3x-3)! $$
Раскроем факториал:
$$3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)! = 504(3x-3)!.$$
Сократим на $$ (3x-3)! $$:
$$3x(3x-1)(3x-2)=504.$$
Разложим $$504=9\cdot 8\cdot 7.$$ Тогда подходит
$$3x=9,$$
откуда
$$x=3.$$