Упр.47.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) (n + 1)! — n! = n • n!; б) (2n + 1)! — (2n — 1)! • 2n = 4n! • (2n — 1)!.

а) Используем формулу факториала:

$$ (n+1)! = (n+1)\cdot n! $$

Тогда

$$ (n+1)! — n! = (n+1)\cdot n! — n! = n\cdot n!. $$

Тождество доказано.

б) Аналогично, раскроем факториал:

$$ (2n+1)! = (2n+1)\cdot (2n)\cdot (2n-1)! $$

Тогда

$$ (2n+1)! — (2n-1)!\cdot 2n = (2n+1)\cdot 2n\cdot (2n-1)! — 2n\cdot (2n-1)! $$

Вынесем общий множитель $$2n\cdot (2n-1)!$$:

$$ 2n\cdot (2n-1)!\bigl((2n+1)-1\bigr) = 2n\cdot (2n-1)!\cdot 2n = 4n^2\cdot (2n-1)!. $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$ (n+1)! — n! = n\cdot n! $$

б) $$ (2n+1)! — (2n-1)!\cdot 2n = 4n^2\cdot (2n-1)! $$