Упр.47.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Укажите наибольшее натуральное число n, для которого: a) 10! кратно 2n; б) 16! кратно 2n; в) 26! кратно 5n; г) 28! кратно 3n

Найдём наибольшее натуральное число $$n$$, для которого в произведении $$m!$$ содержится не меньше $$n$$ множителей числа $$a$$. Тогда $$m!$$ кратно $$a^n$$.

1. $$10!$$ кратно $$2^n$$.

   Считаем количество двоек в разложении числа $$10!$$:

   $$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10.$$

   Число двоек равно:

   $$5 + 2 + 1 = 8.$$

   Значит, наибольшее $$n = 8$$.

2. $$16!$$ кратно $$2^n$$.

   Количество двоек в $$16!$$:

   $$8 + 4 + 2 + 1 = 15.$$

   Следовательно, $$n = 15$$.

3. $$26!$$ кратно $$5^n$$.

   Количество пятёрок в $$26!$$:

   $$5 + 1 = 6.$$

   Значит, $$n = 6$$.

4. $$28!$$ кратно $$3^n$$.

   Количество троек в $$28!$$:

   $$9 + 3 + 1 = 13.$$

   Следовательно, $$n = 13$$.

Ответ

а) $$8$$; б) $$15$$; в) $$6$$; г) $$13$$.