Упр.46.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: a) у = х2 — 8х + 19, [-1; 5]; б) у = х2 + 4х — 3, [0; 2]; в) у — 2х2 — 8х + 6, [-1; 4]; г) у = -3х2 + 6х — 10, [-2; 9].

а) $$y=x^2-8x+19,\quad [-1;5]$$

Найдём стационарную точку:

$$y’ = 2x-8$$

$$2x-8=0,\quad x=4$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(-1)=(-1)^2-8\cdot(-1)+19=28$$

$$y(4)=4^2-8\cdot4+19=3$$

$$y(5)=5^2-8\cdot5+19=4$$

Следовательно, $$y_{\min}=3,$$ $$y_{\max}=28.$$

б) $$y=x^2+4x-3,\quad [0;2]$$

Найдём стационарную точку:

$$y’ = 2x+4$$

$$2x+4=0,\quad x=-2$$

Точка $$x=-2$$ не принадлежит отрезку $$[0;2]$$, поэтому проверяем только концы отрезка:

$$y(0)=0^2+4\cdot0-3=-3$$

$$y(2)=2^2+4\cdot2-3=9$$

Значит, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=9.$$

в) $$y=2x^2-8x+6,\quad [-1;4]$$

Найдём стационарную точку:

$$y’ = 4x-8$$

$$4x-8=0,\quad x=2$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(-1)=2\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)+6=16$$

$$y(2)=2\cdot2^2-8\cdot2+6=-2$$

$$y(4)=2\cdot4^2-8\cdot4+6=6$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=16.$$

г) $$y=-3x^2+6x-10,\quad [-2;9]$$

Найдём стационарную точку:

$$y’=-6x+6$$

$$-6x+6=0,\quad x=1$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(-2)=-3\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)-10=-34$$

$$y(1)=-3\cdot1^2+6\cdot1-10=-7$$

$$y(9)=-3\cdot9^2+6\cdot9-10=-199$$

Значит, $$y_{\min}=-199,$$ $$y_{\max}=-7.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=3,\ y_{\max}=28$$; б) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=9$$; в) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=16$$; г) $$y_{\min}=-199,\ y_{\max}=-7$$.