Упр.46.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = (x + 2)2 — 3, если х = < -2, х2 - 4, если х > -2. на отрезке: a) [-4; -3]; б) [0; 2]; в) [-2; 3]; г) [-3; 0].
Функция задана кусочно:
$$ y= \begin{cases} (x+2)^2-3, & x\le -2,\\ x^2-4, & x>-2. \end{cases} $$
Найдём значения функции в концах отрезков и в точках, где возможны изменения поведения функции: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
а) На отрезке $$[-4;-3]$$
Здесь $$x\le -2$$, значит используем формулу $$y=(x+2)^2-3$$:
$$ y(-4)=(-4+2)^2-3=4-3=1, $$
$$ y(-3)=(-3+2)^2-3=1-3=-2. $$
Следовательно, $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=1$$.
б) На отрезке $$[0;2]$$
Здесь $$x>-2$$, значит $$y=x^2-4$$:
$$ y(0)=0^2-4=-4, $$
$$ y(2)=2^2-4=0. $$
Следовательно, $$y_{\min}=-4$$, $$y_{\max}=0$$.
в) На отрезке $$[-2;3]$$
Проверим точку разрыва $$x=-2$$ и точку $$x=0$$:
$$ y(-2)=(-2+2)^2-3=-3, $$
$$ y(0)=0^2-4=-4, $$
$$ y(3)=3^2-4=5. $$
Наименьшее значение равно $$-4$$, наибольшее — $$5$$.
г) На отрезке $$[-3;0]$$
Снова учитываем обе части функции:
$$ y(-3)=(-3+2)^2-3=-2, $$
$$ y(-2)=(-2+2)^2-3=-3, $$
$$ y(0)=0^2-4=-4. $$
Наименьшее значение равно $$-4$$, наибольшее значение на этом отрезке не достигается, так как при $$x\to -2+$$ значения функции стремятся к $$0$$, но $$x=-2$$ не принадлежит второй ветви.
Ответ
а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=0$$; в) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=5$$; г) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}$$ не существует.
