Упр.46.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -4х + 12, если х < 2, х2 - 2х + 2, если х > = 2 на отрезке: a) [-3; 0]; б) [3; 4]; в) [-1; 3]; г) [1; 4].
Функция задана по частям:
$$ y= \begin{cases} -4x+12, & x<2,\\ x^2-2x+2, & x\ge 2. \end{cases} $$
Для первой части $$y=-4x+12$$ функция убывает, так как коэффициент при $$x$$ отрицательный.
Для второй части $$y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$$, а при $$x\ge 2$$ она возрастает, потому что вершина параболы находится в точке $$x=1$$, левее рассматриваемой области.
Найдём значения функции в нужных точках.
На отрезке $$[-3;0]$$ используется только первая формула:
$$ y(-3)=-4\cdot(-3)+12=24,\qquad y(0)=-4\cdot 0+12=12. $$
Значит, $$y_{\min}=12,\; y_{\max}=24.$$
На отрезке $$[3;4]$$ используется только вторая формула:
$$ y(3)=3^2-2\cdot 3+2=5,\qquad y(4)=4^2-2\cdot 4+2=10. $$
Значит, $$y_{\min}=5,\; y_{\max}=10.$$
На отрезке $$[-1;3]$$ нужно проверить точку разрыва $$x=2$$:
$$ y(-1)=-4\cdot(-1)+12=16, $$
$$ y(2)=2^2-2\cdot 2+2=2, $$
$$ y(3)=3^2-2\cdot 3+2=5. $$Значит, $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=16.$$
На отрезке $$[1;4]$$ также проверяем обе части в точке $$x=2$$:
$$ y(1)=-4\cdot 1+12=8, $$
$$ y(2)=2^2-2\cdot 2+2=2, $$
$$ y(4)=4^2-2\cdot 4+2=10. $$Значит, $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=10.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=12,\; y_{\max}=24$$;
б) $$y_{\min}=5,\; y_{\max}=10$$;
в) $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=16$$;
г) $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=10$$.
