Упр.46.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = |корень(2 — х2) -2| + корень(2 — x2) — 2 + 2х — х2 б) Найдите область значений функции у = |корень(8 + 2х — х2) — 4| + корень(8 + 2х — х2) + х3 — Зх2 — 9х.

а) Обозначим $$t=\sqrt{2-x^2}.$$ Тогда $$t\ge 0,$$ а из области определения имеем $$2-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$

Тогда функция принимает вид

$$y=|t-2|+t-2+2x-x^2.$$

Так как $$t\in[0,\sqrt2],$$ то $$t-2<0,$$ значит

$$|t-2|=2-t.$$

Следовательно,

$$y=(2-t)+t-2+2x-x^2=2x-x^2.$$

Теперь найдём наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2x-x^2$$ на отрезке $$[-\sqrt2,\sqrt2].$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Вершина находится в точке

$$x=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1,$$

и

$$y(1)=2\cdot1-1^2=1.$$

Значит, наибольшее значение равно $$1.$$

Минимум на отрезке достигается на концах:

$$y(-\sqrt2)=2(-\sqrt2)-(\sqrt2)^2=-2\sqrt2-2,$$

$$y(\sqrt2)=2\sqrt2-(\sqrt2)^2=2\sqrt2-2.$$

Наименьшее значение:

$$-2\sqrt2-2.$$

б) Обозначим $$t=\sqrt{8+2x-x^2}.$$ Тогда

$$8+2x-x^2=9-(x-1)^2,$$

поэтому область определения задаётся неравенством

$$9-(x-1)^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in[-2,4].$$

Кроме того,

$$t\in[0,3].$$

Функция имеет вид

$$y=|t-4|+t+x^3-3x^2-9x.$$

Так как $$t\le 3,$$ то $$t-4<0,$$ и

$$|t-4|=4-t.$$

Тогда

$$y=(4-t)+t+x^3-3x^2-9x=4+x^3-3x^2-9x.$$

Итак, нужно найти область значений функции

$$y=x^3-3x^2-9x+4,\qquad x\in[-2,4].$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=3.$$ Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$y(-2)=-8-12+18+4=2,$$

$$y(-1)=-1-3+9+4=9,$$

$$y(3)=27-27-27+4=-23,$$

$$y(4)=64-48-36+4=-16.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$9,$$ а наименьшее — $$-23.$$

Значит, область значений функции:

$$[-23;9].$$

Ответ

а) наибольшее значение $$1,$$ наименьшее значение $$-2\sqrt2-2$$; б) $$[-23;9].$$