Упр.46.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции у = корень((хг — х2)3) + корень(x2 — 6х + 9), х € [0; 5]?

Пусть $$a$$ — сторона основания, а $$h$$ — высота пирамиды. Тогда из условия для апофемы получаем

$$a=2\sqrt{p^2-h^2}.$$

Объём пирамиды:

$$V(h)=\frac13 a^2h=\frac13 \cdot 4(p^2-h^2)h=\frac43(p^2h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac43(p^2-3h^2).$$

Для возрастания функции нужно, чтобы

$$V'(h)\ge 0,$$

то есть

$$p^2-3h^2\ge 0,$$

$$h^2\le \frac{p^2}{3},$$

откуда

$$h\le \frac{p}{\sqrt3}=\frac{p\sqrt3}{3}.$$

Следовательно, максимальный объём достигается при

$$h=\frac{p\sqrt3}{3}.$$

Ответ

$$\frac{p\sqrt3}{3}$$