Упр.46.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда объём

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Полная поверхность цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}, \qquad r>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0$$

$$4\pi r^3=2V$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Следовательно,

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Это и есть радиус, при котором полная поверхность цилиндра наименьшая.

Ответ

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$