Упр.46.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Периметр осевого сечения цилиндра равен р см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим?

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=p.$$

Отсюда

$$h=\frac{p}{2}-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{\pi p}{2}r^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$ при $$r>0$$:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критические точки:

$$\pi r(p-6r)=0 \Rightarrow r=0 \text{ или } r=\frac{p}{6}.$$

Так как $$r>0$$, берём $$r=\frac{p}{6}$$. Тогда

$$h=\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}=\frac{p}{2}-\frac{p}{3}=\frac{p}{6}.$$

Значит, объём цилиндра наибольший, когда высота равна радиусу основания.

Ответ

$$h=\frac{p}{6}.$$