Упр.46.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р. При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим?

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, $$h$$ — её высота, а $$p$$ — апофема. По условию $$p$$ постоянно.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину, центр основания и середину стороны основания. Тогда

$$p^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2.$$

Объём пирамиды равен

$$V=\frac13 a^2h.$$

Из формулы для апофемы выразим сторону основания:

$$a=2\sqrt{p^2-h^2}.$$

Тогда

$$V(h)=\frac13 \cdot 4(p^2-h^2)h=\frac43\left(p^2h-h^3\right), \qquad 0<h<p.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac43\left(p^2-3h^2\right).$$

При максимуме объёма производная равна нулю:

$$p^2-3h^2=0,$$

откуда

$$h=\frac{p}{\sqrt3}.$$

Это и есть высота, при которой объём пирамиды наибольший.

Ответ

$$h=\frac{p}{\sqrt3}.$$