Упр.46.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, $$h$$ — длина бокового ребра. Диагональ боковой грани — это диагональ прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$h$$, поэтому

$$a^2+h^2=d^2.$$

Объём призмы

$$V=a^2h.$$

Из условия диагонали боковой грани выразим $$h$$:

$$h=\sqrt{d^2-a^2}.$$

Тогда

$$V(a)=a^2\sqrt{d^2-a^2}, \qquad 0<a<d.$$

Найдём максимум функции. Рассмотрим квадрат объёма:

$$V^2=a^4(d^2-a^2)=d^2a^4-a^6.$$

Достаточно максимизировать функцию

$$f(a)=d^2a^4-a^6.$$

Её производная:

$$f'(a)=4d^2a^3-6a^5=2a^3(2d^2-3a^2).$$

Критическая точка внутри промежутка $$0<a<d$$ определяется из уравнения

$$2d^2-3a^2=0,$$

откуда

$$a^2=\frac{2d^2}{3}.$$

Тогда

$$h^2=d^2-a^2=d^2-\frac{2d^2}{3}=\frac{d^2}{3},$$

значит

$$h=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно, объём призмы наибольший при длине бокового ребра

$$\frac{d}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$h=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$