Упр.46.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объем составлял 576 м3. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания короба равны $$2x$$ и $$3x$$, а высота равна $$h$$. Тогда по условию объём:

$$2x \cdot 3x \cdot h = 576,$$

откуда

$$6x^2h=576,\qquad h=\frac{96}{x^2}.$$

Полная поверхность закрытого параллелепипеда равна

$$S=2(ab+ah+bh),$$

где $$a=2x,\ b=3x.$$ Тогда

$$S=2\bigl(2x\cdot 3x+2x\cdot h+3x\cdot h\bigr)=12x^2+10xh.$$

Подставим $$h=\frac{96}{x^2}$$:

$$S(x)=12x^2+\frac{960}{x},\qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=24x-\frac{960}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$24x-\frac{960}{x^2}=0,$$

$$24x^3=960,$$

$$x^3=40,$$

$$x=\sqrt[3]{40}.$$

Тогда размеры основания:

$$2x=2\sqrt[3]{40},\qquad 3x=3\sqrt[3]{40},$$

а высота:

$$h=\frac{96}{x^2}=\frac{96}{\sqrt[3]{40^2}}.$$

Удобнее выразить высоту через $$x^3=40$$:

$$h=\frac{96}{x^2}=\frac{96x}{x^3}=\frac{96x}{40}=\frac{12x}{5}.$$

Значит,

$$h=\frac{12}{5}\sqrt[3]{40}.$$

Итак, при этих размерах полная поверхность будет наименьшей.

Ответ

Стороны основания: $$2\sqrt[3]{40}\ \text{м}$$ и $$3\sqrt[3]{40}\ \text{м}$$, высота: $$\frac{12}{5}\sqrt[3]{40}\ \text{м}.$$