Упр.46.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 2 — 3 sin х + 4 cos х; б) y = 3 sin х — 4 cos х + 1.

а) Преобразуем выражение к виду одной тригонометрической функции:

$$ y=2-3\sin x+4\cos x $$

Так как

$$ \sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5, $$

то можно представить:

$$ y=2+5\cos(x+t), $$

где

$$ \cos t=\frac45,\qquad \sin t=\frac35. $$

Поскольку $$-1\le \cos(x+t)\le 1,$$ получаем:

$$ -5\le 5\cos(x+t)\le 5, $$

$$ -3\le 2+5\cos(x+t)\le 7. $$

Значит,

$$ y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=7. $$

б) Аналогично:

$$ y=3\sin x-4\cos x+1 $$

Так как

$$ \sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5, $$

то

$$ y=5\sin(x-t)+1, $$

где

$$ \sin t=\frac45,\qquad \cos t=\frac35. $$

Так как $$-1\le \sin(x-t)\le 1,$$ то

$$ -5\le 5\sin(x-t)\le 5, $$

$$ -4\le 5\sin(x-t)+1\le 6. $$

Следовательно,

$$ y_{\min}=-4,\qquad y_{\max}=6. $$

Ответ

а) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=7.$$
б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=6.$$