Упр.46.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?

Пусть сторона квадратного основания равна $$x$$, а высота бака — $$h$$.

Так как бак открыт сверху, то площадь материала равна

$$S=x^2+4xh.$$

По условию объём бака равен $$32$$ л $$=32\text{ дм}^3$$, значит

$$x^2h=32,$$

откуда

$$h=\frac{32}{x^2}.$$

Тогда

$$S(x)=x^2+4x\cdot \frac{32}{x^2}=x^2+\frac{128}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=2x-\frac{128}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2x-\frac{128}{x^2}=0$$

$$2x^3=128$$

$$x^3=64$$

$$x=4.$$

Тогда

$$h=\frac{32}{4^2}=2.$$

Проверим, что это минимум: при $$x>0$$ вторая производная

$$S»(x)=2+\frac{256}{x^3}>0,$$

значит, найдено именно наименьшее значение площади материала.

Следовательно, бак должен иметь квадратное основание со стороной $$4$$ дм и высоту $$2$$ дм.

Ответ

$$4\text{ дм} \times 4\text{ дм}, \text{ высота } 2\text{ дм}.$$