Упр.46.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ расстояние от базы до точки выхода на дорогу. Тогда $$0 \le x \le 13$$.

Путь по лесу равен $$\sqrt{5^2+x^2}=\sqrt{25+x^2}$$, а путь по дороге — $$13-x$$.

Время движения:

$$ t(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{3}+\frac{13-x}{5}. $$

Найдём минимум функции на отрезке $$[0;13]$$:

$$ t'(x)=\frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}-\frac15. $$

Приравняем производную к нулю:

$$ \frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}=\frac15 $$

$$ 5x=3\sqrt{25+x^2} $$

$$ 25x^2=9(25+x^2) $$

$$ 16x^2=225,\qquad x=\frac{15}{4}. $$

Это значение принадлежит отрезку $$[0;13]$$, значит, оно даёт минимум времени.

Найдём минимальное время:

$$ t_{\min}=t\!\left(\frac{15}{4}\right)=\frac{\sqrt{25+\frac{225}{16}}}{3}+\frac{13-\frac{15}{4}}{5} =\frac{\frac{25}{4}}{3}+\frac{\frac{37}{4}}{5} =\frac{25}{12}+\frac{37}{20} =\frac{71}{15}. $$