Упр.46.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на b м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим через $$x$$ угол между основанием трапеции и боковой стороной. Тогда $$0<x<\frac{\pi}{2}$$.

Опустим высоты $$BH$$ и $$CP$$ на основание $$AD$$. Так как трапеция равнобокая, то

$$BH=CP=15\sin x,$$

$$AH=PD=15\cos x.$$

Поскольку $$BC=15$$, получаем

$$AD=AH+HP+PD=15\cos x+15+15\cos x=15+30\cos x.$$

Площадь трапеции:

$$S(x)=\frac12(AD+BC)\cdot BH$$

$$S(x)=\frac12\bigl(15+30\cos x+15\bigr)\cdot 15\sin x$$

$$S(x)=225\sin x(1+\cos x).$$

Найдём максимум функции $$S(x)$$ на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$S'(x)=225\bigl(\cos x(1+\cos x)-\sin^2 x\bigr)$$

$$S'(x)=225(2\cos^2 x+\cos x-1).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$

На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ подходит только

$$\cos x=\frac12,\quad x=\frac{\pi}{3}.$$

Это и есть точка максимума. Тогда

$$AD=15+30\cos\frac{\pi}{3}=15+30\cdot\frac12=30.$$

Ответ

$$30\text{ см}$$