Упр.46.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: У пятиугольника ABCDE углы А, В и Е — прямые, АВ = а, ВС = b, АЕ = с, DE = m. Впишите в пятиугольник прямо угольник наибольшей площади, если: a) а = 7, b = 9, с = 3, m = 5; б) а = 7, b = 18, с = 3, m = 1.

а) Пусть искомая точка имеет координаты $$A(a; a^2)$$, так как она лежит на параболе $$y=x^2$$.

Тогда расстояние от точки $$A(0; 1{,}5)$$ до этой точки равно

$$ l(a)=\sqrt{(a-0)^2+(a^2-1{,}5)^2} =\sqrt{a^2+a^4-3a^2+2{,}25} =\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}. $$

Найдём производную:

$$ l'(a)=\left(\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}\right)’ =\frac{4a^3-4a}{2\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}} =\frac{2a^3-2a}{\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}}. $$

Так как знаменатель положителен, то знак производной определяется числителем:

$$ 2a^3-2a=2a(a^2-1)=2a(a-1)(a+1). $$

Минимум достигается в точках, где производная меняет знак, то есть при

$$ a=-1 \quad \text{и} \quad a=1. $$

Тогда

$$ y=(-1)^2=1,\qquad y=1^2=1. $$

Следовательно, точки минимума: $$(-1;1)$$ и $$ (1;1).$$

б) Пусть искомая точка имеет координаты $$A(a; \sqrt{a})$$, так как она лежит на графике $$y=\sqrt{x}$$.

Тогда расстояние от точки $$A(4{,}5; 0)$$ до этой точки равно

$$ l(a)=\sqrt{(a-4{,}5)^2+(\sqrt{a}-0)^2} =\sqrt{a^2-9a+20{,}25+a} =\sqrt{a^2-8a+20{,}25}. $$

Найдём производную:

$$ l'(a)=\left(\sqrt{a^2-8a+20{,}25}\right)’ =\frac{2a-8}{2\sqrt{a^2-8a+20{,}25}} =\frac{a-4}{\sqrt{a^2-8a+20{,}25}}. $$

Знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем:

$$ a-4=0 \Rightarrow a=4. $$

При этом

$$ y=\sqrt{4}=2. $$

Точка минимума: $$ (4;2).$$

Ответ

а) $$(-1;1),\ (1;1)$$; б) $$(4;2).$$